فصل 1: مجموعه، الگو و دنباله

درس اوّل: مجموعه‌های متناهی و نامتناهی

1. سوال: مجموعه اعداد حقیقی ( R ) را تعریف کنید.
   پاسخ: مجموعه اعداد حقیقی ( R ) شامل همه اعداد گویایی و گنگی است که روی محور اعداد حقیقی قابل نمایش‌اند.
2. سوال: بازه‌های باز و بسته را توضیح دهید و مثال بزنید.
   پاسخ:

• بازه باز: بازه‌ای که هیچ‌یک از نقاط انتهایی خود را شامل نمی‌شود. مثال: ( (a, b) )
• بازه بسته: بازه‌ای که هر دو نقطه انتهایی خود را شامل می‌شود. مثال: ( [a, b] )

1. سوال: مثال‌هایی از مجموعه‌های متناهی و نامتناهی بزنید.
   پاسخ:

• مجموعه متناهی: مجموعه اعداد اول کمتر از 10
• مجموعه نامتناهی: مجموعه اعداد طبیعی ( N )

1. سوال: مجموعه اعداد گویا ( Q ) را تعریف کنید.
   پاسخ: مجموعه اعدادی که می‌توان آنها را به صورت ( \frac{m}{n} ) نشان داد، جایی که ( m ) و ( n ) اعداد صحیح هستند و ( n \neq 0 ).
2. سوال: تفاوت بین مجموعه‌های متناهی و نامتناهی چیست؟
   پاسخ: مجموعه‌های متناهی تعداد اعضای محدودی دارند، در حالی که مجموعه‌های نامتناهی تعداد اعضای بی‌نهایتی دارند.
3. سوال: مجموعه اعداد صحیح ( Z ) را تعریف کنید.
   پاسخ: مجموعه اعداد صحیح شامل همه اعداد مثبت، منفی و صفر است: ( Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … } )
4. سوال: بازه نیم‌باز چیست؟ مثال بزنید.
   پاسخ: بازه‌ای که یکی از نقاط انتهایی خود را شامل می‌شود و دیگری را نه. مثال: ( [a, b) )
5. سوال: اجتماع دو مجموعه را تعریف کنید.
   پاسخ: اجتماع دو مجموعه ( A ) و ( B ) شامل همه عناصری است که در ( A ) یا ( B ) یا هر دو باشند.
6. سوال: متمم یک مجموعه را تعریف کنید.
   پاسخ: متمم یک مجموعه ( A ) شامل همه عناصری است که در مجموعه مرجع ( U ) هستند اما در ( A ) نیستند.
7. سوال: تفاوت بین بازه باز و بسته را توضیح دهید.
   پاسخ: بازه باز هیچ‌یک از نقاط انتهایی خود را شامل نمی‌شود، در حالی که بازه بسته هر دو نقطه انتهایی خود را شامل می‌شود.

درس دوم: متمم یک مجموعه

1. سوال: اگر مجموعه مرجع ( U ) باشد و ( A \subseteq U )، متمم مجموعه ( A ) را تعریف کنید.
   پاسخ: متمم مجموعه ( A ) شامل عناصری از ( U ) است که در ( A ) نیستند و با ( A’ ) نشان داده می‌شود.
2. سوال: مجموعه زیر را روی محور نمایش دهید: ( A = { x \in R \ | \ 2 \leq x < 5 } ).
   پاسخ: بازه نیم‌باز بین 2 و 5، که شامل 2 است ولی 5 را شامل نمی‌شود. نمایش روی محور: ( [2, 5) ).
3. سوال: اگر ( A \subseteq B ) باشد، متمم ( A ) و ( B ) را مقایسه کنید.
   پاسخ: اگر ( A \subseteq B )، آنگاه ( B’ \subseteq A’ ).
4. سوال: نمایش بازه‌ای مجموعه ( { x \in R \ | \ x \geq 3 } ) چیست؟
   پاسخ: نمایش بازه‌ای: ( [3, +\infty) )
5. سوال: ( (A \cup B)’ = ? )
   پاسخ: ( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ )
6. سوال: مجموعه‌های زیر را با استفاده از نمادهای ریاضی بنویسید: مجموعه اعداد طبیعی که کمتر از 10 هستند.
   پاسخ: ( {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} )
7. سوال: متمم مجموعه ( {1, 2, 3} ) در ( \mathbb{N} ) چیست؟
   پاسخ: ( \mathbb{N} – {1, 2, 3} = {4, 5, 6, …} )
8. سوال: اجتماع و اشتراک دو مجموعه ( A ) و ( B ) را تعریف کنید.
   پاسخ:

• اجتماع: ( A \cup B ) شامل همه عناصری است که در ( A ) یا ( B ) یا هر دو هستند.
• اشتراک: ( A \cap B ) شامل همه عناصری است که هم در ( A ) و هم در ( B ) هستند.

1. سوال: مثال‌هایی از بازه‌های نیم‌باز بدهید.
   پاسخ: ( [1, 3) )، ( (2, 5] )
2. سوال: اگر ( A ) و ( B ) دو مجموعه باشند که هیچ عضوی مشترک ندارند، اشتراک آنها چیست؟
   پاسخ: ( A \cap B = \emptyset )

فصل 2: مثلثات

1. سوال: نسبت‌های مثلثاتی ( \sin ) و ( \cos ) را برای زاویه ( 45^\circ ) محاسبه کنید.
   پاسخ:
   ( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
   ( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
2. سوال: نسبت‌های مثلثاتی ( \tan ) و ( \cot ) را برای زاویه ( 60^\circ ) محاسبه کنید.
   پاسخ:
   ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} )
   ( \cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} )
3. سوال: دایره مثلثاتی چیست و چه کاربردی دارد؟
   پاسخ: دایره مثلثاتی دایره‌ای است با شعاع یک و مرکز در مبدأ مختصات که برای تعریف نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ها استفاده می‌شود.
4. سوال: رابطه بین نسبت‌های مثلثاتی ( \sin ) و ( \cos ) چیست؟
   پاسخ: ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 )
5. سوال: ( \sin(90^\circ – \theta) = ? )
   پاسخ: ( \cos \theta )
6. سوال: نسبت‌های مثلثاتی ( \sin ) و ( \cos ) را برای زاویه ( 30^\circ ) محاسبه کنید.
   پاسخ:
   ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} )
   ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
7. سوال: اگر ( \sin \theta = 0.6 )، ( \cos \theta ) را بیابید.
   پاسخ: ( \cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta} = \sqrt{1 – 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8 )
8. سوال: نسبت‌های مثلثاتی ( \tan ) و ( \cot ) را برای زاویه ( 45^\circ ) محاسبه کنید.
   پاسخ:
   ( \tan(45^\circ) = 1 )
   ( \cot(45^\circ) = 1 )
9. سوال: ( \cos(90^\circ – \theta) = ? )
   پاسخ: ( \sin \theta )
10. سوال: تعریف نسبت مثلثاتی ( \cot ) چیست؟
    پاسخ: ( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} )

فصل 3: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

1. **